K
Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

AH
Akai Haruma
Giáo viên
31 tháng 10 2023

Lời giải:

Tổng của $n$ số hạng trong dãy là cấp số nhân $(u_n)$ với công bội $q$ là:

$S_n=u_1+u_2+....+u_n=u_1+u_1q+u_1q^2+...+u_1q^{n-1}$

$=u_1(1+q+q^2+....+q^{n-1})$

$qS_n=u_1(q+q^2+q^3+...+q^n)$

$\Rightarrow qS_n-S_n=u_1(q+q^2+q^3+...+q^n)-u_1(1+q+q^2+....+q^{n-1})$

$\Rightarrow S_n(q-1)=u_1(q^n-1)$

$\Rightarrow S_n=\frac{u_1(q^n-1)}{q-1}=\frac{u_1(1-q^n)}{1-q}$

Ta có đpcm.

AH
Akai Haruma
Giáo viên
4 tháng 11 2023

Lời giải:
Xét csn $(u_n)$ với công bội $q$

Ta có:

$S_n=u_1+u_2+...+u_n=u_1+u_1q+u_1q^2+....+u_1q^{n-1}$

$=u_1(1+q+q^2+....+q^{n-1})$

$qS_n=u_1(q+q^2+q^3+....+q^n)$

$\Rightarrow qS_n-S_n=u_1(q^n-1)$

$\Rightarrow S_n(q-1)=u_1(q^n-1)$

$\Rightarrow S_n=\frac{u_1(q^n-1)}{q-1}=\frac{u_1(1-q^n)}{1-q}$

Ta có đpcm.

23 tháng 5 2017

a)
\(S_1=\dfrac{1}{1.5}=\dfrac{1}{5}\)
\(S_2=\dfrac{1}{1.5}+\dfrac{1}{5.9}=\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{1}{1}-\dfrac{1}{5}\right)+\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{1}{5}-\dfrac{1}{9}\right)\)
\(=\dfrac{1}{4}\left(1-\dfrac{1}{5}+\dfrac{1}{5}-\dfrac{1}{9}\right)=\dfrac{1}{4}\left(1-\dfrac{1}{9}\right)=\dfrac{2}{9}\).
\(S_3=\dfrac{1}{1.5}+\dfrac{1}{5.9}+\dfrac{1}{9.13}=\dfrac{1}{4}\left(1-\dfrac{1}{5}+\dfrac{1}{5}-\dfrac{1}{9}+\dfrac{1}{9}-\dfrac{1}{13}\right)\)
\(=\dfrac{1}{4}\left(1-\dfrac{1}{13}\right)=\dfrac{3}{13}\).
\(S_4=\dfrac{1}{1.5}+\dfrac{1}{5.9}+\dfrac{1}{9.13}+\dfrac{1}{13.17}\)\(=\dfrac{1}{4}\left(1-\dfrac{1}{5}+\dfrac{1}{5}-\dfrac{1}{9}+\dfrac{1}{9}-\dfrac{1}{13}+\dfrac{1}{13}-\dfrac{1}{17}\right)\)
\(=\dfrac{1}{4}\left(1-\dfrac{1}{17}\right)=\dfrac{4}{17}\).
b) Dự đoán công thức : \(S_n=\dfrac{1}{4}\left(1-\dfrac{1}{4n+1}\right)\).
Chứng minh bằng quay nạp:
Với \(n=1\): \(S_1=\dfrac{1}{1.5}=\dfrac{1}{5}\).
Vậy giả thiết quy nạp đúng với n = 1.
Giả sử điều cần chứng minh đúng với \(n=k\).
Nghĩa là: \(S_k=\dfrac{1}{4}\left(1-\dfrac{1}{4k+1}\right)\).
Ta sẽ chứng minh nó đúng với \(n=k+1\): \(S_{k+1}=\dfrac{1}{4}\left(1-\dfrac{1}{4\left(k+1\right)+1}\right)\)
Thật vậy:
\(S_{k+1}=S_k+\dfrac{1}{\left[4\left(k+1\right)-3\right].\left[4\left(k+1\right)+1\right]}\)
\(=\dfrac{1}{4}\left(1-\dfrac{1}{4k+1}\right)+\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{1}{4\left(k+1\right)-3}-\dfrac{1}{4\left(k+1\right)+1}\right)\)

\(=\dfrac{1}{4}\left(1-\dfrac{1}{4k+1}\right)+\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{1}{4k+1}-\dfrac{1}{4\left(k+1\right)+1}\right)\)
\(=\dfrac{1}{4}\left(1-\dfrac{1}{4\left(k+1\right)+1}\right)\).
Vậy điều cần chứng minh đúng với mọi n.

25 tháng 5 2017

b)
Với n = 1.
\(VT=B_n=1;VP=\dfrac{1\left(1+1\right)\left(1+2\right)}{6}=1\).
Vậy với n = 1 điều cần chứng minh đúng.
Giả sử nó đúng với n = k.
Nghĩa là: \(B_k=\dfrac{k\left(k+1\right)\left(k+2\right)}{6}\).
Ta sẽ chứng minh nó đúng với \(n=k+1\).
Nghĩa là:
\(B_{k+1}=\dfrac{\left(k+1\right)\left(k+1+1\right)\left(k+1+2\right)}{6}\)\(=\dfrac{\left(k+1\right)\left(k+2\right)\left(k+3\right)}{6}\).
Thật vậy:
\(B_{k+1}=B_k+\dfrac{\left(k+1\right)\left(k+2\right)}{2}\)\(=\dfrac{k\left(k+1\right)\left(k+2\right)}{6}+\dfrac{\left(k+1\right)\left(k+2\right)}{2}\)\(=\dfrac{\left(k+1\right)\left(k+2\right)\left(k+3\right)}{6}\).
Vậy điều cần chứng minh đúng với mọi n.

25 tháng 5 2017

c)
Với \(n=1\)
\(VT=S_n=sinx\); \(VP=\dfrac{sin\dfrac{x}{2}sin\dfrac{2}{2}x}{sin\dfrac{x}{2}}=sinx\)
Vậy điều cần chứng minh đúng với \(n=1\).
Giả sử điều cần chứng minh đúng với \(n=k\).
Nghĩa là: \(S_k=\dfrac{sin\dfrac{kx}{2}sin\dfrac{\left(k+1\right)x}{2}}{sin\dfrac{x}{2}}\).
Ta cần chứng minh nó đúng với \(n=k+1\):
Nghĩa là: \(S_{k+1}=\dfrac{sin\dfrac{\left(k+1\right)x}{2}sin\dfrac{\left(k+2\right)x}{2}}{sin\dfrac{x}{2}}\).
Thật vậy từ giả thiết quy nạp ta có:
\(S_{k+1}-S_k\)\(=\dfrac{sin\dfrac{\left(k+1\right)x}{2}sin\dfrac{\left(k+2\right)x}{2}}{sin\dfrac{x}{2}}-\dfrac{sin\dfrac{kx}{2}sin\dfrac{\left(k+1\right)x}{2}}{sin\dfrac{x}{2}}\)
\(=\dfrac{sin\dfrac{\left(k+1\right)x}{2}}{sin\dfrac{x}{2}}.\left[sin\dfrac{\left(k+2\right)x}{2}-sin\dfrac{kx}{2}\right]\)
\(=\dfrac{sin\dfrac{\left(k+1\right)x}{2}}{sin\dfrac{x}{2}}.2cos\dfrac{\left(k+1\right)x}{2}sim\dfrac{x}{2}\)\(=2sin\dfrac{\left(k+1\right)x}{2}cos\dfrac{\left(k+1\right)x}{2}=2sin\left(k+1\right)x\).
Vì vậy \(S_{k+1}=S_k+sin\left(k+1\right)x\).
Vậy điều cần chứng minh đúng với mọi n.

9 tháng 4 2017

a) Ta có:

b) Từ câu a) ta dự đoán (1), với mọi n ε N* .

Ta sẽ chứng minh đẳng thức (1) bằng phương pháp quy nạp

Khi n = 1, vế trái là , vế phải bằng . Vậy đẳng thức (1) đúng.

Giả sử đẳng thức (1) đúng với n = ≥ 1, tức là

Ta phải chứng minh nó cũng đúng khi n = k + 1, nh=ghĩa là phải chứng minh

Ta có

=

tức là đẳng thức (1) cũng đúng với n = k + 1.

Vậy điều cần chứng minh đúng với mọi n.

9 tháng 4 2017

a) Năm số hạng đầu của dãy số là 3, √10, √11, √12, √13.

b) Ta có: u1 = 3 = √9 = √(1 + 8)

u2 = √10 = √(2 + 8)

u3 = √11 = √(3 + 8)

u4 = √12 = √(4 + 8)

...........

Từ trên ta dự đoán un = √(n + 8), với n ε N* (1)

Chứng minh công thức (1) bằng phương pháp quy nạp:

- Với n = 1, rõ ràng công thức (1) là đúng.

- Giả sử (1) đúng với n = k ≥ 1, tức là có uk = √(k + 8) với k ≥ 1.

Theo công thức dãy số, ta có:

uk+1 = .

Như vậy công thức (1) đúng với n = k + 1.


9 tháng 4 2017

a) Năm số hạng đầu của dãy số là 3, √10, √11, √12, √13.

b) Ta có: u1 = 3 = √9 = √(1 + 8)

u2 = √10 = √(2 + 8)

u3 = √11 = √(3 + 8)

u4 = √12 = √(4 + 8)

...........

Từ trên ta dự đoán un = √(n + 8), với n ε N* (1)

Chứng minh công thức (1) bằng phương pháp quy nạp:

- Với n = 1, rõ ràng công thức (1) là đúng.

- Giả sử (1) đúng với n = k ≥ 1, tức là có uk = √(k + 8) với k ≥ 1.

Theo công thức dãy số, ta có:

uk+1 = .

Như vậy công thức (1) đúng với n = k + 1.


HQ
Hà Quang Minh
Giáo viên
21 tháng 9 2023

a)    Ta có:

\({S_n}.q = \left( {{u_1} + {u_1}q + {u_1}{q^2} + ... + {u_1}{q^{n - 1}}} \right).q = {u_1}\left( {1 + q + {q^2} + ... + {q^{n - 1}}} \right).q = {u_1}\left( {q + {q^2} + {q^3} + ... + {q^n}} \right)\)

\(\begin{array}{l}{S_n} - {S_n}.q = {u_1} + {u_1}q + {u_1}{q^2} + ... + {u_1}{q^{n - 1}} - {u_1}\left( {q + {q^2} + {q^3} + ... + {q^n}} \right)\\ = {u_1}\left( {1 + q + {q^2} + ... + {q^{n - 1}}} \right) - {u_1}\left( {q + {q^2} + {q^3} + ... + {q^n}} \right)\\ = {u_1}\left( {1 + q + {q^2} + ... + {q^{n - 1}} - \left( {q + {q^2} + {q^3} + ... + {q^n}} \right)} \right)\\ = {u_1}\left( {1 - {q^n}} \right)\end{array}\)

b)    Ta có: \({S_n} - {S_n}.q = {u_1}\left( {1 - {q^n}} \right) \Leftrightarrow {S_n}\left( {1 - q} \right) = {u_1}\left( {1 - {q^n}} \right) \Leftrightarrow {S_n} = \frac{{{u_1}\left( {1 - {q^n}} \right)}}{{\left( {1 - q} \right)}}\)

NV
11 tháng 8 2020

Bạn ghi đề bài sai thì phải, \(\frac{1}{\left(4n-1\right)\left(4n+1\right)}\) không hề phù hợp với các số hạng đầu tiên

NV
18 tháng 9 2020

\(u_3=u_2^2-u_2+2=4\)

\(S_1=1=\left(2-1\right)^2=\left(u_2-1\right)^2\)

\(S_2=2.5-1=9=\left(4-1\right)^2=\left(u_3-1\right)^2\)

Dự đoán \(S_n=\left(u_{n+1}-1\right)^2\)

Ta sẽ chứng minh bằng quy nạp:

- Với \(n=1;2\) đúng (đã kiểm chứng bên trên với \(S_1;S_2\))

- Giả sử đẳng thức đúng với \(n=k\)

Hay \(S_k=\left(u_1^2+1\right)\left(u_2^2+1\right)...\left(u_k^2+1\right)-1=\left(u_{k+1}-1\right)^2\)

Ta cần chứng minh:

\(S_{k+1}=\left(u_1^2+1\right)\left(u_2^2+1\right)...\left(u_k^2+1\right)\left(u_{k+1}^2+1\right)-1=\left(u_{k+2}-1\right)^2\)

Thật vậy:

\(S_{k+1}=\left[\left(u_{k+1}-1\right)^2+1\right]\left(u_{k+1}^2+1\right)-1\)

\(=\left(u_{k+1}^2-2u_{k+1}+2\right)\left(u_{k+1}^2+1\right)-1\)

\(=\left(u_{k+2}-u_{k+1}\right)\left(u_{k+2}+u_{k+1}-1\right)-1\)

\(=u_{k+2}^2-u_{k+2}-u_{k+1}^2+u_{k+1}-1\)

\(=u_{k+2}^2-u_{k+2}+2-u_{k+2}-1\)

\(=\left(u_{k+2}-1\right)^2\) (đpcm)

22 tháng 9 2020

e cảm ơn ạ